Bunyi Hukum Kepler (1, 2, 3) – Contoh Soal & Rumusnya

Sayanda.com – Bunyi Hukum Kepler (1, 2, 3) – Contoh Soal & Rumusnya

Pada tahun 1596, salah seorang ahli matematika dan astronomi asal Jerman bernama Johannes Kepler meluncurkan satu teori yang berkaitan dengan sistem tata surya.

Teori yang dikemukakannya merupakan sanggahan terhadap metode Heliosentris yang dicetuskan oleh Nicolaus Copernicus di tahun 1543. Teori ini kemudian dikenal dengan hukum Kepler, dan menjadi acuan utama dalam ilmu astronomi masa kini.

Bunyi Hukum Kepler I, II, dan III

Hukum Kepler I diungkapkan oleh Kepler melalui bukunya yang berjudul “The Mystery of The Universe”. Hukum tersebut berbunyi:

“Setiap planet yang mengelilingi matahari memiliki lintasan berbentuk elips, dengan matahari sebagai salah satu fokusnya.”

Sedangkan dalam buku keduanya yang diterbitkan pada tahun 1609 dengan judul “Astronomia Nova”, Kepler mengemukakan hukum Kepler II yang berbunyi:

“Planet dan Matahari dihubungkan oleh garis yang memiliki luas daerah dan rentang waktu yang sama.”

Sementara itu, hukum Kepler III dituangkan Kepler dalam buku ketiganya yang ditulis oleh Harmonices Mundi. Teori ini berbunyi:

“Kuadrat dari periode planet berbanding lurus dengan pangkat tiga rata-rata jaraknya menuju matahari.”

Secara sederhana, teori Kepler I membahas tentang bentuk lintasan orbit setiap planet terhadap matahari, sedangkan teori Kepler II menjelaskan tentang kecepatan yang diperlukan setiap planet ketika mengelilingi matahari. Sementara itu, teori Kepler III menjelaskan tentang lama waktu setiap planet dalam berevolusi.

 

Rumus Hukum Kepler I, II, dan III

Secara matematis, hukum Kepler dirumuskan sebagai berikut:

(T1)2/(r1)3 = (T2)2/(r2)3 = konstan (k)

  • T1: periode planet 1
  • r1: jarak planet 1 terhadap matahari
  • T2: periode planet 2
  • r2: jarak planet 2 terhadap matahari

Selanjutnya, (k) bisa dihitung dengan rumus:

k = 4π2/GM

  • G: gravitasi. Tetapan ini bernilai 9,8 m/s2
  • M: massa matahari

Atau bisa juga dihitung dengan rumus:

k = T2/r3

Sebenarnya, kita bisa menurunkan persamaan hukum Kepler III melalui penggabungan antara rumus Hukum Newton I dan II. Kedua persamaan Newton ini biasa digunakan untuk mencari gaya benda yang bergerak melingkar beraturan.

Rumus untuk Hukum Newton II adalah:

∑F = m.a

  • F: gaya
  • m: massa planet
  • a: percepatan

Rumus tersebut bisa diturunkan kembali menjadi:

∑F = m (v2/r)

Karena

a = v2/r

Selanjutnya, untuk hukum gravitas Newton, berlaku:

Fg = G (m1m2)/r2

  • Fg: gaya gravitasi
  • G: tetapan gravitasi
  • m1 dan m2: massa planet 1 dan 2
  • r: jarak tempuh

Lalu, kita bisa menggabungkan kedua persamaan Newton tadi, sehingga:

Gm1m2/r2 = mv2/r

Gm1/r2 = v2/r

Keliling lintasan suatu planet sama dengan panjang lintasan planet tersebut. Keliling orbit ini dapat dirumuskan dengan 2πr. Jika kecepatan planet adalah hasil perbandingan antara keliling orbit, maka:

Gm1/r2 = (2πr/T)2/r

Gm1/r2 = (4π2r2/T2)

Gm1/r2 = 4π2r/T2

Perhitungan ini tidak hanya digunakan untuk menghitung jarak tempuh atau panjang orbit planet terhadap matahari, tetapi juga bisa untuk menghitung jarak tempuh dan panjang orbit dari semua satelit yang dimiliki planet, misalnya bulan yang mengelilingi bumi, dan benda-benda angkasa lainnya, seperti asteroid.

 

Contoh Soal Hukum Kepler I, II, dan III

  1. Untuk mengelilingi matahari, bumi membutuhkan waktu tempuh selama 1 tahun. Jarak tempuh antara matahari dan bumi adalah sebesar 1, 6 x 1011 Jika periode orbit dari planet Mars adalah 0,5 tahun, berapakah jarak antara planet Mars dengan matahari?

Diketahui:

Waktu tempuh atau periode bumi (Tb) = 1 tahun

r1 = 1,6 x 1011 m

waktu tempuh Mars (Tm) = 0,5 tahun

Ditanyakan:

r2?

Jawab:

(Tb)2/(r1)3 = (Tm)2/(r2)3

(1)2/(1,6 x 1,011)3 = (0,5)2/(r2)3

(r2)3 = (1,6 x 1011)3 (0,52/12)

(r2) = ∛1,24 x 1033

Jadi, jarak antara planet Mars dengan matahari adalah sebesar 1,24 x 1033 m.

  1. Waktu yang dibutuhkan pluto untuk berputar mengelilingi matahari adalah selama 2 tahun, dengan jarak tempuh sebesar 1,5 x 1011 Apabila waktu yang dibutuhkan planet Saturnus untuk berputar mengelilingi matahari adalah selama 1 tahun, berapakah jarak antara planet Saturnus dengan matahari?

Diketahui:

Tp = 2 tahun

rp = 1,5 x 1011 m

TS = 2 tahun

Ditanyakan:

rS?

Jawab:

(Tp)2/(rp)3 = (TS)2/(rS)3

(1,5)2/(1,5 x 1011)3 = (2)2/(rS)3

(rS)3 = (1,5 x 1011)3 (22/1,52)

(r2) = ∛6,008 x 1033

Jadi, jarak antara planet Mars dengan matahari adalah sebesar 6,008 x 1033 m.

  1. Planet A dan B sama-sama berputar mengelilingi matahari. Perbandingan jarak planet A dan B adalah 1:6. Jika planet A mengelilingi matahari selama 90 hari, maka berapa waktu tempuh dari planet B?

Diketahui:

ra : rb = 1:6

TA = 90 hari

Ditanyakan:

TB?

Jawab:

k = T2/r3

k = TA2/rA3 = TB2/rB3

k = (90)2/(1)3 = TB2/(6)3

TB = √(6)3 x (90)2

TB = 36 x 90 = 3240 hari

Jadi, planet B mengelilingi matahari selama 3240 hari.

  1. Planet C dan D berputar mengelilingi matahari. Jika kedua planet memiliki jarak tempuh masing-masing 4:1, maka berapa perbandingan periode kedua planet tersebut?

Diketahui:

rC : rD = 4:1

Ditanyakan:

TC : TD?

Jawab:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita gunakan rumus (k) dari hukum Kepler III:

k = T2/r3

k =  TC2/rC3 = TD2/rD3

k = (TC/TD)2 = (rC/rD)3

(TC/TD)2 = (4/1)3

TC/TD = √43 = 3√4

Jadi, perbandingan periode planet C dan D adalah sebesar 3√4.

***

Demikianlah artikel Bunyi Hukum Kepler (1, 2, 3) – Contoh Soal & Rumusnya dari Sayanda.com; jangan sungkan untuk bertanya.

Sumber:

loading...

Leave a Reply